Одна из наиболее важных математических идей в физике – это идея о разложении в ряд. Она полезна и часто применяется, особенно когда точное решение задачи недоступно и приходится искать наиболее существенную его часть.

Рассмотрим, к примеру, функцию – обратный гиперболический косинус – и представим, не рисуя, как выглядит его график. Для этого смотрим поведение функции в нуле и на бесконечности. Вблизи нуля f (x) аппроксимируется откуда легко получить, что при x = 0 f (x) = 1 и затем спадает как парабола в обоих направлениях. При очень больших эта функция Теперь понятно, что sech(x) спадает от нуля экспоненциально, так что в целом функция выглядит как стог сена.

Для большинства функций Maple для поиска приближений применяются команды taylor, series и asympt. Ниже увидим, как они работают.

Теорема Тейлора: если функция f (x) имеет все производные в точке x = a, то для x вблизи a эту функцию можно приближенно представить в виде ряда:

Maple может применять эту теорему для генерирования всевозможных рядов с помощью команды taylor. Например, для функции sech:

• taylor(sech(x),x=0,20);

Опция x = 0 говорит Maple, что разложение надо делать вблизи 0. Цифра 20 говорит, что надо включать члены вплоть до x20.

Найдите разложение в ряд Тейлора для следующих функций вблизи x = 0 при сохранении членов до x10.

(a) sin(x),

(b) cos(x),

(c) arctan(x),

(d) ex,

(e) ln(1 + x),

(f) (1+x)p.

Вид ответов впечатляет, но в большинстве физически значимых задач оставляют первые два члена разложения (а бывает, и один), что упрощает выкладки. К примеру, команда taylor(f(x),x=0,3) дает члены до x2.

Чтобы использовать разложение в ряд в дальнейших расчетах, можно свернуть созданное taylor выражение в полином: convert(...,polynom), где ... – это имя, которое давали ряду Тейлора. Например:

• f:=taylor((1+x^2)^(3/2),x=0,5);
• f:=convert(f,polynom);

Maple может разложить в ряд Тейлора специальные функции.

Найдите разложения:

(a) J0(x),

(b) I0(x),

(c) К(х) (полный эллиптический интеграл EllipticK),

(d) Г(х).

Для (a)–(c) точка разложения x = 0, для (d) x = 1. Разлагать до x10.

Ответ ужасен, но посмотрите, как получить нечто более приемлемое с помощью evalf, или скажите Maple, что надо разложить вблизи x = 1.0 (снова десятичная точка!).

Функции можно аппроксимировать другими разложениями, например командой Maple series, которая работает почти так же, как taylor (но более общая).

Разложение функции Бесселя K0(x) около x = 0.

Впрямую Maple не может это сделать. Попытайтесь применить series(BesselK(0,x),x=0,3); и посмотрите, что случится. Игнорируйте громоздкости и сосредоточьтесь на ведущих членах. Тогда окажется, что K0(x) имеет логарифмическую сингулярность. (Учтите, что в разложении появляется постоянная Эйлера. Чтобы узнать о ней, запросите: ?gamma.)

Сделайте то же для следующих функций:

(a) ctg(x),

(b) ,

(c)

Вместо 3 попробуйте другие цифры в команде series и посмотрите, что это означает.