Графики функций элементарной математики не должны вызывать затруднений. При желании их можно нарисовать самостоятельно. Ниже рассматриваются математические функции, которые часто встречаются в физических задачах.

Фурье-анализ применяется в физике как мощный метод решения ДУ в частных производных. Он основан на общей идее о том, что из бесконечной суммы простых функций можно построить сложную функцию. Например, получть сдвиг фазы при сложении синуса и косинуса.

Вот еще важные для физики простые примеры.

Сложите две функции с разными частотами:

• restart;
• f:=t-> cos(t)+cos(1.1*t);
• plot(f(t),t=0..200*Pi,numpoints=1000);

Этот график имитирует звуки, которые издает духовая труба (горн, например) в руках неумелого музыканта: вау-ва-вау-ва (в общем, как-то так). А если их двое и они пытаются играть по нотам? Результат у каждого – разный, но вместе они достанут кого угодно. Вот это и показывает нарисованный выше график. Быстрые колебания – это «вопли», а медленные колебания амплитуды – это «ноты».

В ней утверждается, что любую периодическую функцию можно представить бесконечной суммой синусов и косинусов, имеющих тот же период, что и функция. В этих суммах синусы и косинусы умножаются на коэффициенты, величины которых становятся малыми при больших значениях индекса суммы.

Например, вот запрограммированная командой суммы в Maple сумма косинусов с коэффициентами, которые спадают как

• g:=x-> sum(cos(n*x)/n,n=1..100);

Нарисуем эту функцию средствами Maple:

• plot(g(x),x=0..6*Pi);

Учтите, что:

1. эта функция периодическая и
2. вы, вероятно, не догадываетесь о том, как она выглядит.

Рассмотрим сумму Фурье .

Нарисуйте ее от t = 0 до t = 2π, рассматривая эту сумму как функцию Maple.

Теперь измените сумму так, чтобы в знаменателе была вторая степень множителя, замените косинус на синус и снова нарисуйте. Затем измените множитель в знаменателе на куб и вновь нарисуйте. Затем замените его же на 4-ю степень и опять нарисуйте. Эта последовательность иллюстрирует свойство рядов Фурье, которого нет во многих изданиях по математике.

Для функции с разрывами члены ряда Фурье стремятся к 0 как (а в разрывах они имеют неприятные волнообразные детали, называемые особенностями Гиббса).

Функции с разрывами первой производной спадают как Функции, имеющие разрыв второй производной, спадают как и т. д.

Функция, не имеющая особенностей и особенностей в производных любого порядка, спадает быстрее, чем любая степень что означает, что она должна спадать экспоненциально по n, как и т. п.

В курсе электродинамики будут спадающие аналогичным образом ряды Фурье.

Применим идею Фурье-анализа к построению волновых пакетов и для проверки принципа неопределенности.

Принцип неопределенности ассоциируется с квантовой механикой, но на самом деле он получается как следствие Фурье-анализа, который, в свою очередь, входит в математические основы квантовой механики. Поэтому не должно быть сюрпризом, что столь важный физический принцип оказывается математическим результатом.

Для построения волнового пакета суммируем пакет косинусов или синусов с частотами вблизи центральной частоты, на которой получится волна, живущая внутри оболочки, созданной деструктивной интерференцией соседних волн. Покажем это:

• restart;
• A:=w->exp(-(w-4)^2*20);

Нарисуем, чтобы увидеть частотное распределение:

• plot(A(w),w=0..5,labels=['w','A']);

Для описания ширины этого распределения нужен инструмент. Его общая идея основана на понятии «Полной Ширины на Половине Ординаты Максимума», кратко ПШПМ (англ. Full Width at Half Maximum, FWHM). Это ширина между двумя точками на кривой распределения A(), где A – половина ординаты максимума. Посмотрите на график и грубо проверьте, что FWHM получается при Выкладки покажут, что точная величина .

Теперь построим функцию времени в виде суперпозиции 100 волн с частотами в интервале между и (такой интервал взят, так как из предыдущего графика ясно, что частоты вне этого диапазона имеют недостаточную амплитуду, чтобы существенно повлиять на результат).

• f:=t-> sum(cos((3.5+n/100)*t)*A(3.5+n/100),n=0..100);

Учтите, что n = 0..100, добротность = 3.5 + n/100 в диапазоне от 3.5 до 4.5 (как для ). Теперь можно построить временной сигнал и, используя частотную функцию A(), увидеть, за какое время функция f(t) создается этой суперпозицией.

• plot(f(t),t=-50..50,numpoints=1000);

Видно, что возникает частотное распределение амплитуд конечной ширины – волновой пакет.

Обозначим ширину амплитудной функции A(), t – длительность временного сигнала.

Согласно теореме произведение t не меньше, чем число, по порядку равное 1. В действительности, если ширина измеряется как FWHM, то оно ≈ 6, т. е.:

Учтите, что здесь число 6 неточное. Причина в том, что при формулировке принципа неопределенности с помощью FWHM точности нет. Однако, если частотная зависимость описывается статистическим нормальным распределением, то принцип неопределенности становится точным (по виду). Если эта идея кажется странной, приглашаем в квантовую механику.

Задача 2.2
Проверьте принцип неопределенности в построенном графике. Затем измените ширину амплитудной функции A(), взяв вместо 20 другое значение параметра в ее определении, и постройте новые графики. Проверьте, что соотношение неопределенности сохранится и для них.