В физике важно интуитивно чувствовать, что означает ДУ, причем без груды формул и приемов их решения. Иначе трудно сформулировать математическую модель физических процессов и дальнейшее ее уточнение.

Рассмотрим простой пример и постараемся описать его словами:

Поскольку – это наклон функции y(x), то в уравнении сказано, что чем больше у, тем больше наклон функции. Рассмотрим два возможных случая.

(1) y(0) положительна. ДУ говорит, что наклон положителен, так что у возрастает. Но если у возрастает, наклон тоже растет все больше и больше с ростом у. Поэтому не очень удивительно, что решением уравнения будет функция вроде ex, которая становится гигантской с ростом х.

(2) y(0) отрицательна. Теперь из ДУ следует, что наклон отрицателен, поэтому y должен будет уменьшиться, т. е. он станет более отрицательным, чем при x = 0. Но чем более отрицателен y, тем наклон все отрицательнее, и т. д. Понятно, что решением будет сильно спадающая функция вроде –ex.

Этот качественный анализ применим к ДУ взрывного роста, о котором говорилось выше в разделе о ДУ первого порядка:

Когда правая часть уравнения содержала первую степень у, то решением была экспонента. Для положительных у в записанном выше ДУ решение должно возрастать еще быстрее, т. е. быстрее, чем экспонента:

• s:=dsolve({diff(y(x),x)=y(x)^2,y(0)=1},y(x));
• plot(rhs(s),x=0..1);

Рассмотрим, что произойдет, если y(0) отрицателен. Сделайте грубые прикидки рисунков, затем проверьте свои ответы, изменяя начальные условия в примере выше.

В такую игру можно поиграть и с ДУ второго порядка. Берем ДУ простого гармонического осциллятора и описываем его словесно:

Знак второй производной указывает на кривизну функции: плюс – выпуклость вниз, минус – выпуклость вверх. Если величина второй производной велика, то выпуклость очень узкая, а если мала, то выпуклость широкая.

О чем говорит это уравнение, если стартовать с y = 1? Вторая производная отрицательна, поэтому кривизна функции «переворачивается» и направлена вниз, делая у меньше, что уменьшает кривизну, сохраняя ее отрицательной и сохраняя ее направление вниз, пока она не пересечет y = 0. Затем для отрицательных y кривизна положительна и растет. Сначала рост небольшой (потому что величина у мала), но в конце концов у станет достаточно большим (а так как у отрицателен, то по модулю), затем остановится и вернется назад к y = 0. При этом у станет положительным, функция опять изменит кривизну, и все повторится заново до достижения y = 0 и т. д. Поэтому решение будет периодическим, вроде cos(x).

(a) Примените качественный анализ производных, чтобы догадаться, как выглядят решения уравнений, и затем проверьте в Maple.

при y(0) = 1 и

(b) Примените качественный анализ производных, чтобы угадать, как выглядят решения уравнений, и затем проверьте в Maple (примените dsolve(....type=numeric) и odeplot).

при y(0) = 1 и

(c) Примените качественный анализ производных, чтобы угадать, как выглядят решения уравнений, и затем проверьте в Maple.

при y(0) = 1 и