Способность Maple выполнять алгебраические действия означает, что он также может брать векторные производные с помощью команд Gradient, Divergence, Curl и Laplacian. Он может это делать в декартовых, цилиндрических и сферических координатах, задаваемых командой SetCoordinates. Но вначале надо вызывать специальный пакет векторных вычислений VectorCalculus.

• restart:with(VectorCalculus):

Примеры градиента в каждой из систем координат. Определяем функцию и берем ее градиент:

• SetCoordinates('cartesian'[x,y,z]);
• f1:=3*x^2+y*sqrt(z);
• Gradient(f1);

• SetCoordinates('cylindrical'[r,theta,z]);
• f2:=cos(theta)/sqrt(r^2+z^2);
• Gradient(f2);

• SetCoordinates('spherical'[r,theta,phi]);
• f3:=sin(phi)*r^2*(3*cos(theta)^2-1);
• Gradient(f3);

Maple может вычислять дивергенцию в каждой из координатных систем. Дивергенция действует на векторное поле, поэтому вначале надо применить команду VectorField, чтобы определить для выбранной системы координат.

• SetCoordinates('cartesian'[x,y,z]);
• g1:=VectorField();
• Divergence(g1);

• SetCoordinates('cylindrical'[r,theta,z]);
• g2:=VectorField(<r^2*cos(theta),r^2*sin(theta),z^2>);
• Divergence(g2);

• SetCoordinates('spherical'[r,theta,phi]);
• g3:=VectorField(<r^2*cos(theta),r^2*sin(theta),cos(phi)>);
• Divergence(g3,[r,theta,phi],coords=spherical);

При вычислении ротора используется то же самое векторное поле, что для дивергенции.

• SetCoordinates('cartesian'[x,y,z]);
• Curl(g1);

• SetCoordinates('cylindrical'[r,theta,z]);
• Curl(g2);

• SetCoordinates('spherical'[r,theta,phi]);
• Curl(g3);

В каждой из этих систем координат можно выполнить операцию ∇2, Laplacian. Ниже – примеры для скалярной функции, использованной выше для градиента.

• SetCoordinates('cartesian'[x,y,z]);
• Laplacian(f1);

• SetCoordinates('cylindrical'[r,theta,z]);
• Laplacian(f2);

• SetCoordinates('spherical'[r,theta,phi]);
• Laplacian(f3);
• ?Laplacian

Это замечательные возможности, но в физике проблема чаще не в вычислении векторных производных, а в обратной задаче о нахождении поля. Это намного труднее, и Maple здесь сильно не поможет.

Два уравнения Максвелла для статического электрического и магнитного полей: электростатический потенциал точечного диполя div(E) = ρ/ε0, а для магнитного поля curl(B) = μ0J. Для каждого из полей E или B найдите формулы плотности заряда ρ и плотности тока J. Учтите, что E и B – векторы, которые надо правильно определить. Например, если Bθ = kr, то B надо определять как: B:=array([0,k*r,0]).

(a) Сферические координаты: (точечный заряд).

(b) Сферические координаты: (заряд твердой сферы).

(c) Цилиндрические координаты: (линейный заряд).

(d) Цилиндрические координаты: (полый заряженный цилиндр).

(e) Цилиндрические координаты: (длинная проволока).

(f) Цилиндрические координаты: (однородный ток в проволоке).

(g) Цилиндрические координаты: .